Universidad del Bío-Bío Espacio de Interacción Didáctica
UBB
Universidad del Bío-BíoFacultad de Ciencias
fe²∂
fe²∂pemSeminario Estudiantil
25
CMM
Centro de Modelamiento Matemático

Tratamiento Matemático

Prof. Braulio Gallegos, Fabián San Martín, Javier Téllez
IV Seminario Estudiantil de Ecuaciones Diferenciales y Educación Matemática
Vinculación con el Medio para el Fortalecimiento de la Enseñanza y las Matemáticas Aplicadas.
Facultad de Ciencias — Facultad de Educación y Humanidades
Universidad del Bío-Bío  ·  Año 2026
Datos del estudiante
Nombre completo
Fecha
Institución
Curso
Agenda del día
  1. Presentación, estructura de la clase y lectura del OA EID
  2. Preguntas de Activación de conocimientos previos
  3. Contextualización del Tratamiento
  4. Modelos del Tratamiento
  5. Actividad Interactiva
  6. Espacio de reflexión e interacción
Objetivo de la sesión Interpretar gráficos de un tratamiento oncológico asociado a un modelo de ecuación diferencial mostrando una actitud participativa e interés por el aprendizaje.
Sección 1

Preguntas de Activación

Pregunta 1 · 1 minuto

¿Qué es el Cáncer?

Pregunta 2 · 1 minuto

¿Qué tratamiento conocen para tratar el cáncer?

Pregunta 3 · 1 minuto

¿Qué utilidad presenta la Matemática al estudiar la efectividad de un tratamiento contra el cáncer?

Sección 2

El Tratamiento CAR-T

La Terapia de Células CAR-T es un tratamiento oncológico personalizado donde se extraen células T del paciente, se reprograman genéticamente para reconocer células cancerosas y se reinfunden al cuerpo para atacarlas. La siguiente simulación interactiva reproduce los 5 pasos del proceso y muestra los parámetros del modelo matemático que lo describe.

Proceso del tratamiento
Pasos de la Terapia CAR-T
Haz clic en cada paso para explorar el proceso
🩸 Paso 1: Extracción de sangre
Se extrae sangre del paciente para obtener sus propias células T. Estas células forman parte del sistema inmune y son el punto de partida del tratamiento.
Diagrama del modelo matemático
L(t)
Células
leucémicas
ρ (proliferación)
ρ·L
crecimiento
α (reconocimiento)
C(t)
Células
CAR-T
ρ
Tasa de proliferación celular
α
Tasa de reconocimiento de células CAR-T sobre células leucémicas
τC
Tasa de eliminación de células leucémicas por células CAR-T
L(t)
Población de células leucémicas
C(t)
Población de células CAR-T
Sección 3

Modelo Compartimental

El Modelo Compartimental mide las Entradas y Salidas de alguna Población. En nuestro caso, mide la entrada de células (su Crecimiento) y las salidas de ese tipo de célula (su Decrecimiento).

Ecuación diferencial del modelo
dL/dt  =  ρL  −  α·L·C
Tasa de cambio de células leucémicas = Proliferación natural (ρL) − Eliminación por interacción con CAR-T (αLC)

Glosario de variables

Símbolo Nombre Descripción
L(t) Células leucémicas Cantidad de células leucémicas en el tiempo t (días).
C(t) Células CAR-T Cantidad de células CAR-T en el tiempo t (días).
ρ Tasa de proliferación Velocidad de multiplicación leucémica. ρL es la tasa de crecimiento.
α·C·L Eliminación por encuentro Mide la eficiencia con que una CAR-T destruye a una célula leucémica.
τC Vida media de contracción Días que persisten las células CAR-T antes de contraerse o agotarse.

Observaciones del modelo

Sección 4

Actividades con el Simulador

📊
Instrucción general
Para las actividades 1 y 2, utiliza el simulador interactivo de gráficas disponible más abajo en esta guía. Observa cómo cambia L(t) al modificar los parámetros ρ (Rho) y α (Alpha) y registra tus observaciones en los espacios indicados.
Actividad 1
Interpretación Conjunta de las Gráficas
Se analizarán en conjunto ciertas gráficas y, en base a las mismas, se responderán las siguientes preguntas.
¿Qué situaciones podemos observar?
✔ Remisión / Control ⚠ Recaída ✖ Descontrol
1
¿Qué comportamiento toma la función L(t)? ¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
Rho = 0.18  &  Alpha = 5
2
¿Qué comportamiento toma la función L(t)? ¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
Rho = 0.60  &  Alpha = 1.1
3
¿Qué comportamiento toma la función L(t)? ¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
Rho = 0.60  &  Alpha = 5
Actividad 2
Interpretación Individual de las Gráficas
Analiza de forma individual las gráficas que se forman al interactuar con los parámetros indicados en cada pregunta y responde según lo observado.
¿Qué situaciones podemos observar?
✔ Remisión / Control ⚠ Recaída ✖ Descontrol
1
¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
ρ = 0,10  &  α = 3,0
2
¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
Rho = 0.4  &  Alpha = 0.5
3
¿Cuál sería el caso oncológico asociado?
Rho = 0.45  &  Alpha = 3.0
4
En la pregunta 3, ¿qué caso oncológico se puede visualizar dentro del intervalo de 0 a 20 días? ¿Y después de los 20 días?
Rho = 0.45  &  Alpha = 3.0
5
¿Qué casos oncológicos puede visualizar y desde qué intervalos?
Alpha = 3.5  &  Rho = 0.30
6
¿Qué casos oncológicos se pueden visualizar y desde qué intervalos?
Rho = 0.02  &  Alpha = 5.0
7
¿Qué casos oncológicos puede visualizar y desde qué intervalos?
Alpha = 3.0  &  Rho = 0.60
8
¿Qué casos oncológicos puede visualizar y desde qué intervalos?
Rho = 0.40  &  Alpha = 0.8
Herramienta interactiva

Simulador de Gráficas CAR-T

Utiliza los controles para modificar los parámetros ρ (tasa de proliferación) y α (eficiencia de eliminación) y observa cómo evoluciona la población de células leucémicas L(t). Puedes hacer zoom con la rueda del ratón y arrastrar para desplazar la vista.

Modelo con perfil CAR-T prescrito
Remisión · Control · Recaída
Solo la leucemia se modela como ecuación diferencial: dL/dt = ρ_L·L − α·L·C(t). El perfil C(t) sigue una cinética de Bateman que imita la expansión y contracción real de la infusión CAR-T. Mueve ρ_L y α para explorar los tres desenlaces clínicos.
Remisión o ControlDisminución o desaparición de los signos y síntomas del cáncer.
RecaídaEl cáncer reaparece tras un periodo de remisión.
DescontrolLas células cancerígenas crecen. No presenta remisión ni recaída.
Parámetros de la leucemia
Tasa de crecimiento leucémico (ρ_L)
Velocidad a la que se multiplican las células cancerosas por día, sin tratamiento
0.18día⁻¹
Eficiencia de eliminación CAR-T (α)
Capacidad de las CAR-T para destruir células leucémicas por encuentro
1.1×10⁻¹¹
▸ Ajustar el perfil C(t) (avanzado)
Dosis / expansión máxima (C₀)
Escala de la infusión CAR-T (magnitud del pico de expansión)
6.0×10¹⁰
Tasa de expansión (k_a)
Qué tan rápido proliferan las CAR-T tras la infusión
0.90día⁻¹
Vida media de contracción (τ_C)
Días que persisten las CAR-T antes de contraerse/agotarse
15días
Evolución de L(t) bajo un perfil CAR-T dado
L(t) — Leucemia
C(t) — Perfil CAR-T (dado)
L(0) inicial
3.00×10⁹ cél.
L mínimo
—
L(50) final
—
Día de erradicación
—
Solución numérica de dL/dt = (ρ_L − α·C(t))·L por RK4 (h = 0.01 día). Perfil prescrito: C(t) = C₀·(k_a/(k_a−k_e))·(e⁻ᵏᵉᵗ − e⁻ᵏᵃᵗ) con k_e = 1/τ_C (tipo Bateman). Frontera absorbente en L < 1 célula: una vez erradicada, la leucemia permanece en remisión. Si L no cruza ese umbral antes de que C(t) se agote, la leucemia retoma su crecimiento exponencial — recaída.
Sección final

Espacio de Reflexión e Interacción

Pregunta 1
¿Qué utilidad tiene las matemáticas en el tratamiento de una enfermedad?
Pregunta 2
¿Qué aprendiste respecto a los conceptos de remisión/control, recaída y descontrol?
Pregunta 3
¿Qué limitaciones puedes apreciar en el modelo abordado?

¿Listo para responder el formulario final?

Completa el formulario de evaluación de la sesión a través del siguiente enlace.
Tu participación es importante para mejorar esta experiencia de aprendizaje.

Completar formulario de la sesión